第22屆足球世界杯已落下帷幕，這一屆世界杯最大的贏家是阿根廷，是梅西，更是億萬期盼梅西封神的球迷。將近一個月的比賽跌宕起伏、精彩紛呈。球賽開始前和比賽期間，預測結果更是成為球迷們的最大興趣。世界上的各大媒體，電視臺，也紛紛加入到預測中來。我雖然算不上一個具有專業(yè)水準的球迷，但也禁不住周邊朋友們熱鬧場面的誘惑，對多場比賽結果進行預測。

        預測的最大樂趣是增加了看球的樂趣，本來是一場與自己無關的比賽，因為有了預測，就特別期望自己預測正確。而且一旦結果與預測一致，那種成功的喜悅，很難用語言來形容。

        預測足球比賽結果是一門技術活，首先要對球隊有比較深入的了解，包括球員構成、綜合能力、歷史戰(zhàn)績、世界排名、當家球星、球員狀態(tài)、對手情況等，了解越多，預測似乎就越準確。但實際情況往往出乎意料甚至大相徑庭。以牛津大學預測為例，他們用自己的數(shù)學模型計算出來的預測結果如圖1所示。

圖1 牛津大學給出的預測模型

        從圖1可以看出，盡管引入了非常復雜的數(shù)學計算，并對各隊的歷史數(shù)據(jù)，交戰(zhàn)結果做了詳細的分析，但預測結果卻不盡人意。小組賽也就有一半預測對了勝負，其中進入決賽的兩支隊伍都錯了。其他很多預測機構也大致相同。

        其實，影響比賽結果的因素很多，球隊實力固然非常重要，但進入32強的球隊大部分實力都不弱，尤其是進入淘汰賽階段更是如此。這時候，球隊的戰(zhàn)術安排，球員臨場狀態(tài)、取勝欲望、團隊配合等方面就顯得尤為重要。此外，運氣也是比賽的一部分，并且往往成為左右比賽結果的非常重要的因素。

        足球比賽既考驗雙方的能力，也是對雙方隊員面對面比拼時心理素質的檢驗。盡管結果不可預知，但其中卻蘊含有嚴謹?shù)臄?shù)學原理。今天我們就談談這個問題。

        大家知道，概率論是解決我們日常生活很多問題的重要數(shù)學理論。越來越多的足球預測，都是以概率論作為基礎進行的。上述牛津大學的預測也是基于概率論的。但概率論如何運用，卻是有很多講究。

        一般來說，在一個非受限空間，一個獨立事件發(fā)生的概率總是符合正態(tài)分布的。其定義是：若隨機變量X服從一個位置參數(shù)為μ、尺度參數(shù)為σ 的概率分布，且其概率密度函數(shù)為：

        則這個隨機變量就稱為正態(tài)隨機變量，正態(tài)隨機變量服從的分布就稱為正態(tài)分布，記作X~N（μ，σ2），讀作X服從N（μ，σ2），或X服從正態(tài)分布。圖2是正態(tài)分布分布密度函數(shù)曲線圖。

圖2 正態(tài)分布函數(shù)曲線（來源于網(wǎng)絡）

        當實際發(fā)生概率很小時，我們稱其為小概率事件，從標準概率分布圖中可以看出，位于區(qū)間（-3σ，3σ）以外的概率小于0.2%。所以，在很多場合下，就不予考慮。比如，我們在物流系統(tǒng)中采用稱重法來檢驗圖書揀選的準確性時，就是選取了這一標準。在很多工業(yè)場合，標準會進一步提高，比如我們常說的6σ檢驗標準，就要求達到（-4.5σ，4.5σ）范圍，其精確度將達到3.44ppm（即百萬分之三點四四）。

        再回過頭來看世界杯。如何運用數(shù)學原理進行比賽的預測呢？這是一個比較復雜的問題。如果單就一場球來看，其實就是實力對比說了算，作為一個獨立事件，沒有參考數(shù)據(jù)，很難做出準確預測。比如德國對日本，一般情況下，大家預測都認為日本會輸。但是要進一步定義輸?shù)母怕屎洼數(shù)谋确?，就比較復雜了。這就牽涉到一個概率問題。比如說德國輸?shù)母怕?，其實我們可以讓他們?000場球，看看比分會如何分布，這樣結果就出來了。但實際上做不到。因為即使集中踢1000場，這個結果也是有問題的，它與我們擲1000次硬幣的情況有很大不同。因為比賽受到人為的干擾。其結果與自然發(fā)生的有出入。而實際上，集中踢1000場在時間上也沒有可能。所以，我們在預測一場球時，就顯得很困難，事實上因為事件的隨機性而變得無法預測。如果我們假設德國和日本踢1000場球的結果是600勝，300平，100負，這一結果對指導預測其實幫助不大，但如果聯(lián)系到歷史的比賽，我們還是會做出比較可信的預測。另一方面，我們把一場球放到一個系統(tǒng)中看，將會又是一番景象。比如我們將德國對日本比賽放到一個大的空間，如世界杯大賽這個環(huán)境看，德國屬于第一梯隊，日本屬于第三梯隊，這樣看的樣本空間就大得多。因為有大量的第一梯隊與第三梯隊比賽的樣本可供參考。我們可以從這些歷史樣本中得出一些有用的結論，如雙方歷史上的勝率，本屆已經(jīng)完成的比賽的情況等，從而指導預測的結果。

        在小組賽期間，我們知道，每個小組內的強弱還是比較分明的。這樣大家的預測總體來說準確性要高一些，這是我們應用概率論的基礎。但另一方面，我們也要看到，比賽結果還是有一定比例的場次出乎大家的意料之外。比如亞洲球隊的爆發(fā)，日本連勝德國和西班牙，使得德國最終小組未能出線。開始時，很多中國球迷擔心亞太區(qū)球隊會被剃光頭，但事實上，不僅有3支球隊（含澳大利亞）順利出線，而且每支球隊都有上佳表現(xiàn)。對此，我開始就大膽提出兩個假設：第一是亞洲球隊必定會有球隊進入第二輪；第二是比賽必定會有冷門產生。通過對各小組進行分析，首先把出線的球隊寄托在日本、韓國身上，并將日本對德國、韓國對西班牙、沙特對阿根廷三場比賽定義為最容易爆冷的比賽。其中之所以定義沙特對阿根廷會爆冷，則基于阿根廷是奪冠大熱門的假設，并且其此前已經(jīng)35場不敗的記錄，已經(jīng)平了世界紀錄。概率論的理念就是：阿根廷即使要破世界紀錄，也只會破一點點（小概率事件），也就  是說最多再贏1~2場；阿根廷要想奪冠，就不能在淘汰賽輸球，小組賽輸球是其唯一機會。因此，其輸給沙特的理由最充分（第一場可能性最大）。比賽的結果印證了這一猜想。

        到了淘汰賽階段，大家對預測英國和法國比賽產生分歧。認為兩隊水平相當，英國更勝一籌。但實際過程看，是英國幾乎沒有希望。但既然是預測，邏輯上要有一致性才行。很多機構預測法國和巴西爭奪冠軍，這是有一定道理的，事實上要做到這一點，兩隊在淘汰賽中，它幾乎就不可能會輸。要怎么樣才會輸呢？需要爆冷才會輸。我們知道，在世界杯上，爆冷是有其必然性的。從歷史數(shù)據(jù)看，總會有一定比例的比賽會爆冷，有些還是大冷門，這就不是小概率事件了。法國輸給英國根本就不算冷門，法國只有輸給像澳大利亞這樣的隊伍才是大冷門。另一邊就不同了，巴西對克羅地亞，結果是巴西爆冷出局；西班牙對摩洛哥，同樣是西班牙爆冷出局；到了葡萄牙對摩洛哥，其實已經(jīng)不是爆冷了，葡萄牙隊內出現(xiàn)嚴重問題，才使得摩洛哥一舉擊敗葡萄牙，挺進4強。

        其實，后面的4場比賽，結果早就失去懸念。盡管他們的能力差異在毫厘之間，但再爆冷的幾率已經(jīng)很低了。其一是克羅地亞和法國進入決賽，這幾乎是不可能的結果，因為這種重復上屆比賽結果的可能性微乎其微，歷史上只有一次，而且克羅地亞水平本來就有限，打敗巴西，進入4強已經(jīng)是超水平發(fā)揮。其二是梅西封王眾望所歸，4次沖擊冠軍，無果而終，本屆比賽，將是梅西最后的機會。梅西占盡了天時地利人和。人們無法想象沒有獲得世界杯的梅西，會如何與其球王身份相匹配。第三是法國衛(wèi)冕也是難上加難。試問，世界上除了巴西衛(wèi)冕成功過一次外，還有誰能獲得這份殊榮？以法國足球的底蘊，根本不可能達到這一高度。

        所以，同樣是概率論的應用，在臨場操作時應該從多方面考慮，而不能僅僅局限于一個維度。比如，預測決賽會不會出現(xiàn)帽子戲法這一事件，有幾個因素支持這一預測，第一是全部21屆比賽，居然出現(xiàn)了52個帽子戲法，平均每屆2.47個，本屆比賽還只有1個，這是不正常的；第二，從決賽的氛圍來看，從兩隊的風格來看，從球星的能力和機會看，完全是有可能的，并且可能是大概率事件。

        世界上的事情，往往都包含有一定的數(shù)學原理，被數(shù)學原理所制約。但即使如此，由于未來的不確定性仍然使得預測不可能百分之百準確，預測歸根到底是一種猜測，它不代表結果的確定性。我們知道，再小的概率也是可能發(fā)生的，但如果我們明白背后的邏輯，將會使得猜測準確性更高。足球比賽尤其如此。因為，每場比賽雖然時間很長，但進攻到禁區(qū)并且獲得得分的機會卻不多。所謂的偶然性就成為左右比賽結果的重要因素。強隊如果沒有抓住機會，反而被弱隊抓住寶貴的機會，結果就會逆轉，這也是足球最具有魅力的地方。當然，強弱如果是一邊倒的情況，所謂的偶然性基本是不可能發(fā)生的。

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